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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 九. 继续卷积的讨论
阅读量:6715 次
发布时间:2019-06-25

本文共 2774 字,大约阅读时间需要 9 分钟。

这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

 

卷积在滤波中的应用

浑浊度(Turbidity)研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域,然后测量光线的昏暗程度,测量出来的值将随时间变化。

(由于没有真实数据,下面用mathematica比较粗糙地模拟水域的浑浊度数据)

       

能看到信号主要集中在低频,我们需要把毛刺去除,也就是把高频去除,在频域进行低通滤波(Low Pass Filtering)

       

滤波后的波形如下

频域运算:$\pi_{2\nu_c} F(s)$;时域运算为卷积:$2\nu_c sinc(2\nu_c t)*f(t)$。

 

滤波概念

滤波(Filtering)通常等同于卷积,滤波是由滤波器实现的。

滤波器(Filter)是一个输入可变的函数(信号)与一个固定的函数(信号)进行卷积运算的系统。这个固定的信号叫做脉冲响应(impulse response)。

$g \quad = \quad f \qquad * \qquad h$

$\qquad output \qquad input \qquad impulse \ response$

卷积是在时域的表示方法,一般来说,频域的运算会比时域简单许多,因为频域只需执行相乘运算。

$G(s) = F(s)H(s)$

$H(s)$被称为传递函数(transfer function),在设计滤波器时通常是设计合适的传递函数$H(s)$。

 

下面是比较常用的滤波器。

低通滤波器(low pass filter),常用于图像压缩。

高通滤波器(high pass filter),常用于边缘检测(edge detection)

带通滤波器(band pass filter)

 

 

卷积的含义

教授认为只需要从频域理解为函数的相乘即可,而在时域上不需要去具象化卷积。(I think  it is equally idiotic to try to visualize convolution. I think the way to visualize convolution, if there is a way, is to think in terms of multiplying in the frequency domain.)

 

卷积的性质

一般来说$f*g$通常比单独的$f$和$g$更加平滑。

如:矩形函数$\Pi$是不连续的,两个$\Pi$函数的卷积是三角函数$\Lambda$,是连续的。

$\mathcal{F}(\Pi * \Pi) = (\mathcal{F} \Pi)(\mathcal{F} \Pi) = sinc^2 = \mathcal{F} \Lambda$

 

傅里叶导数定理

对原函数进行微分后,它的傅里叶变换等于其原函数的傅里叶变换乘以$2\pi is$

$\mathcal{F}(f')(s) = 2\pi is(\mathcal{F} f)(s)$

证明过程如下:

傅里叶逆变换有:

$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} F(s)e^{2\pi ist}ds }$

对其求微分,

$\begin{align*}

\frac{\partial f}{\partial t}
&= \int_{-\infty}^{\infty}F(s)(2\pi ise^{2\pi ist})ds \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(2\pi isF(s))e^{2\pi ist}ds \\
\end{align*}$

则有$f'$与$2\pi isF(s)$为傅里叶变换的关系

$f' \ \leftrightarrow \ 2\pi isF(s)$

 

推广开来有

$\mathcal{F}(f^n)(s) = (2\pi is)^n(\mathcal{F} f)(s)$

 

 

无限长柱上的热方程

$U(x,t)$表示时间$t$,位置$x$上的温度。

已知初始温度为$U(x,0) = f(x)$,热方程为$U_t = \frac{1}{2}U_{xx}$。

 

$U(x,t)$的求解过程如下:

对位置变量进行$x$求傅里叶变换,假设变换的结果为$U(s,t)$。

对热方程等号左边进行傅里叶变换,

$\begin{align*}

\mathcal{F}(U_t)
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx} \frac{\partial}{\partial t}U(x,t)dx  \\
&= \frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isx}U(x,t)dx \\
&= \frac{\partial}{\partial t}U(s,t)
\end{align*}$

对热方程等号右边进行傅里叶变换,

$\mathcal{F}(\frac{1}{2}U_{xx}) = \frac{1}{2}(2\pi is)^2U(s,t) = –2\pi ^2s^2U(s,t)$

即有

$\frac{\partial}{\partial t}U(s,t) = –2\pi^2s^2U(s,t)$

求偏微分方程,得

$U(s,t) = U(s,0)e^{-2\pi^2s^2t}$

$U(s,0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}U(x,0)e^{-2\pi isx}dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx = F(s) }$

把$U(s,0)$的结果代入$U(s,t)$,得

$U(s,t) = F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}$

 

转换为卷积格式

$e^{-2pi ^2s^2t} = \mathcal{F}(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})$

$\begin{align*}

U(s,t)
&= F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}\\
&= (\mathcal{F} f)(\mathcal{F} (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}))\\
&= \mathcal{F}(f* \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})
\end{align*}$

$U(x,t) = f(x) * \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}$

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